hash函数为什么要选择对素数求余?

常用的hash函数是选一个数m取模（余数），这个数在课本中推荐m是素数，但是经常见到选择m=2^n，因为对2^n求余数更快，并认为在key分布均匀的情况下，key%m也是在[0,m-1]区间均匀分布的。但实际上，key%m的分布同m是有关的。

证明如下： key%m = key - xm，即key减掉m的某个倍数x，剩下比m小的部分就是key除以m的余数。显然，x等于key/m的整数部分，以floor(key/m)表示。假设key和m有公约数g，即key=ag, m=bg, 则 key - xm = key - floor(key/m)m = key - floor(a/b)m。由于0 <= a/b <= a，所以floor(a/b)只有a+1中取值可能，从而推导出key%m也只有a+1中取值可能。a+1个球放在m个盒子里面，显然不可能做到均匀。

由此可知，一组均匀分布的key，其中同m公约数为1的那部分，余数后在[0,m-1]上还是均匀分布的，但同m公约数不为1的那部分，余数在[0, m-1]上就不是均匀分布的了。把m选为素数，正是为了让所有key同m的公约数都为1，从而保证余数的均匀分布，降低冲突率。